目次
基本の『き』
まず簡単な四則計算の逆算からやり方を勉強していきましょう。
問題１ □＋４＝１２
□と４を足すと１２になる事から□＝１２−４を計算すれば良いことはすぐに予想がつくと思います。四角の位置を４と逆にしても
問題２ ４＋□＝１２
□を求める式 □＝１２−４は変わらない事から、足し算の逆算は四角の位置に関係なく引き算をすれば良い事が分かります。
次に、引き算ではどうでしょう
問題３ □－６＝１８
□から６を引くと18になるので、□＝１８＋６を計算すれば良いことになります。では、四角の位置を逆にするとどうでしょう。
問題４ ２６－□＝１８
２６から何かを引くと１８になるわけですから、□＝２６−１８を計算することになります。足し算とは違って四角の位置によって引き算をしたり、足し算をしたり変えなければならないのでややこしいですね。
今度は、かけ算のではどうでしょう
問題５ □ × ４＝１２
□と４をかけると１２になるのですから□＝１２ ÷ ４を計算することになります。四角の位置を逆にしても
問題６ ４× □＝１２ ４と何かをかけると１２になる訳ですが□を求める式は変わりません。□＝１２ ÷ ４を計算すれば良いわけです。この事からかけ算の逆算は四角の位置に関係なく割り算をすれば良い事が分かります。これは足し算と同じでありがたいですね。
最後に割り算はどうでしょうか。
問題７ □ ÷ ４＝３
何かを４で割った時に３になるのですから □＝３×４を計算すれば良いことになります。では、四角の位置を逆にするとどうでしょう。
問題８ １２ ÷ □＝３
今度は１２を何かで割ったら３になったので□＝１２ ÷３を計算することになります。引き算の時と同じで四角の位置によって掛け算をしたり、割り算をしたりしなくてはいけないことになります。
では、かけ算をすれば良いのか割り算をすれば良いのか分からなくなってしまったらどうすれば良いのでしょうか？
問題９ １２ ÷ ４＝３
この簡単な式を問題用紙の空欄にメモして１２や４のところを四角にしてみてください。□を求めるために、かけ算と割り算のどちらをすれば良いのか直ぐにと分かると思います。
また、逆算とは関係のない計算が含まれている場合もあります。
問題10 １２ ÷ □ ＝３×２
イコールの右側の「３×２」は□とは関係なく計算できるところなので、計算してしまいましょう。
計算の順序に注目
計算には優先順位があることは知っていると思います。普通は式の左側から順に計算してゆきます。この時 × 、÷ が最優先で次に＋、－を計算します。例外として()カッコの中は優先して計算します。まず普通の計算をやって確認してみましょう。
問題11 ３＋２×(６−１)
• カッコの内は優先なので、６−１＝ ５
• かけ算が優先なので２ × ５＝ １０
• 足し算は、優先順位最下位なので最後に 3＋１０＝１３ と計算する事になります。
では、逆算の問題をいったん普通の計算だと考えて計算してみましょう。
問題12 ４×(３＋□)＝３２
• カッコ内は最優先なので、３＋□の足し算をする。
• その答えに４をかけると３２になる。このような、順になります。
逆算は、言葉の通り逆に計算するので、
• 問題12の②、かけ算から計算します。４に何をかけると３２になるか？式 ３２ ÷ ４＝８
• カッコの中を計算。３に□を足すと８になるので、式 ８−３＝５となって□＝５と答えがでます。
□を他の図形に置き換えて逆算しよう
逆算が少し複雑になると□を含むあとで計算する部分を他の図形に置き換えてから計算すると、とても簡単にそして間違え無く問題を解く事ができます。
問題13 3＋7 × (□−７)＝４５
① まず最初に逆算するところは3＋なんとか＝45なので、 7 ×(□−７)は後で計算する部分です。ここを△に置き換えます。
問題13-2 3＋△＝４５
これで逆算の基本問題になってしまいました。
△＝４５−３、 △＝４２ △の部分を元に戻すと
7 ×(□−７)＝４２
② 更に後で計算する事になる(□−７)を◎と置き換えると
7 × ◎ ＝４２ となり、
◎ ＝４２ ÷ ７、 ◎ ＝６ ◎の部分を元に戻すと
(□−７)＝６
③ 最後の逆算 □＝６＋７、 □＝１３ と答えが出ます。
この置き換えテクニックだと基本の『き』で紹介した方法しか使いませんので、どの順番で逆算すれば良いか身についてさえいれば間違えることはなくなります。
分数や小数が混じっている逆算
逆算に分数や小数が混じっていることがあります。このような場合、小数は分数に揃えて逆算を進めるのが普通のやり方です。逆算に良く登場する小数がありますので、これらの小数と分数が等しいことをしっかり覚えてください。
0.5 ＝ 1/2、0.25 ＝1/4、0.2 ＝ 1/5、0.125 ＝1/8 等々
また、分数でも帯分数は仮分数に直してから逆算します。
例 1 1/2 ＝ 3/2
では、やってみましょう。
問題14 0.75＋(1 1/2 − □ × 0.2) ÷ 1/3 ＝ 1
① 小数を分数に直します。
0.75 ＝ 3/4、 1 1/2 ＝ 3/2、 0.2＝ 1/5になるので
3/4＋(3/2 − □ × 1/5) ÷ 1/3 ＝ 1
② 後から計算する部分を△に置き換え。
3/4＋△ ＝ 1
△ ＝ 1 − 3/4、 △ ＝ 1/4
すなわち、(3/2 − □ × 1/5) ÷ 1/3 ＝ 1/4
③ 更に、◎に置き換え。
◎ ÷ 1/3 ＝ 1/4
◎ ＝ 1/4 × 1/3、 ◎ ＝ 1/12
すなわち、3/2 − □ × 1/5 ＝ 1/12
④ 更に、☆に置き換え。
3/2 − ☆ ＝ 1/12
☆ ＝ 3/2 − 1/12、☆ ＝ 17/2
すなわち、□ × 1/5 ＝ 17/2
⑤ 最後に□を求める。
□ ＝ 17/2 ÷ 1/5、 □ ＝ 17/2 × 5/1
□ ＝ 85/2 (42 1/2)
□が式の2箇所にある逆算
最後に、四角がイコールの両側にある問題の解き方を解説します。
つるかめ算やニュートン算など特殊算を解くために式を立てると、□がイコールの両側に出てきてしまう事があります。このような時にはどうしたら良いのでしょう？
問題15 □ × 7 −１５ ＝ □ × ５ ＋ 5
① まず、問題1の足し算の逆算を思い出してください。
問題１ □＋４＝１２ 四角を求めるために、１２−４と計算しています。ここで４に注目すると、イコールの左側にあった＋(たす)４が −(引く)４としてイコールの右側へ移っています。すなわち、イコールの反対側に数字を移す時には＋が−に、−が＋へと逆になるわけです。これを問題15の□に当てはめて考えると
□ × 7 − □ × ５− １５ ＝ 5 イコールの右側にあった□ × ５が、−(引く) □ × ５となって左側に移りました。
② 次に、分配法則の逆を使って□をまとめると
□ ×( 7 − ５) − １５ ＝ 5
カッコの中を計算して、□ × 2 − １５ ＝ 5 となります。
③ ここからは逆算の基本を用いて
□ × 2 ＝ 5 ＋ １５、 □ × 2 ＝ ２０
□ ＝ 1０ となります。
まとめ
逆算は、計算の基本がきちんと出来ていれば決して難い問題しくはありません。
あくまでも基本に忠実に計算し、計算が混乱しそうになったら四角を他の図形に置き換えたりしながら逆算を進めましょう。間違えの多くは、計算の順序を間違えている事が多いようです。
逆算は、つるかめ算や旅人算などのいわゆる特殊算を解く時に役立つこともあります。
したがって、逆算がしっかり出来ることは算数の様々な場面で正答を出す援軍となるのです。
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こちらの記事の監修者
浅井保(あさい たもつ)
・北海道大学文学部卒
・家庭教師のアルファ 講師部長
・山手中央高等学院 学院長
2008年に『家庭教師のアルファ』のプロ家庭教師として活動開始。
現在、株式会社アルファコーポレーション講師部部長、および同社の運営する通信制サポート校・山手中央高等学院の学院長を兼務しながら講師として指導にも従事。
