一次関数について|中学生/数学

勉強方法

《そもそも関数とは?》
関数とは、xとyがあるときに、xの値が決まると、yの値がただ1つ決まることを、
「yはxの関数である」といいます。逆に、yの値が決まるとxの値がただ1つ決まるときは、「xはyの関数である」といいます。
yがxの関数であるとき、xはyの関数であるとは限りません。

一次関数の式は?

一次関数の式は、『y=ax+b』という式で表せます。この式は何を表しているかというと、
直線になる、ということです。
比例のところで、比例の式はy=axで、原点を通る式になる、ということを習っていると思います。一次関数と比例の式を比べると、違いは+bのところだけになりますね。
この+bは上下に移動していることを意味します。

一次関数の式の意味

では、一次関数の式 y=ax+b からどんなことが読み取れるのでしょうか。
先ほど、bについては「上下に移動する」と説明をいたしました。
このbは、『切片』と呼ばれます。
xを0にすると、y=ax+bの式は、y=bとなります。
xは0なので、(0.b)の点はy軸上の点です。
bをみるとこの直線がy軸上のどこを通るかがわかります。
前項の「上下の平行移動」ということを踏まえても、原点からbだけ移動した点ですから、
y軸上の点になることがわかります。

次に、aについて、aは『傾き』と呼ばれます。
xが1ずつ増えると、yはaの分だけ増えていきます。この増えかたによって直線の傾き方が決まる、ということです。
aの値が大きいほど、直線の傾斜が大きくなり(y軸に近い直線になり)、小さいほど傾斜もなだらかになります。また、aが正の数なら、直線は右上がりとなり、負の数なら右下がりの直線になります。

変化の割合って何?

変化の割合は、(yの増加量)÷(xの増加量)で求められる数です。
一次関数のところで習うのですが、なんかピンとこないかもしれませんね。
(xの増加量)のところを1としてみましょう。そうすると、「xが1のとき、変化の割合はyの増えた分になる」という意味になります。

ここで、前の項目のaのところをみてください。
「xが1ずつ増えると、yはaの分だけ増えていきます」とあります。
上の分と見比べると、「変化の割合はaになる」ということがわかります。

直線の場合、進み方は一定となるので、変化の割合も一定で、aと同じになります。
変化の割合を求める式は、そのままaを求める式にもなっています。
(注意点)
一次関数は直線の式になるから変化の割合=aとなりますが、直線でない場合(放物線や双曲線など)は、変化の割合が一定ではないので、その都度計算が必要になります。

一次関数の式はどうやって出すの?

一次関数の式を求める問題はかなりよく出てきます。直線の式を直接求める問題でなくても、それを使って解く問題も多いです。一次関数の式はy=ax+bですから、作業としてはaとbを求めることになります。

問題を解くパターンとしては、aとbのどちらかがわかっていて、その式にxとyを代入してもう一方を出すことが多いです。

例題)
傾きが3で、点(2、4)を通る直線の式を求めなさい。


解答)
傾きが3であることから、a=3であることがわかります。
この時点でこの式はy=3x+bとなります。
これが(2,4)を通るから、x=2、y=4を代入します。
4=3×2+bになります。
これを解いて、b=-2
よってこの式は、y=3x-2
となります。


例題2)
一次関数で、xが1から3まで増加するとき、yは3から-1まで減少し、xが4のときyは1である。この式を求めなさい。


解答)
xが2増えると、yは4減少します。これから変化の割合を計算します。
-4÷2=-2 ですので、a=-2になります。この時点での式は、
y=-2x+b になりますね。これに、x=4、y=1を代入します。
1=-2×4+b これを解いてb=9
よって答えはy=-2x+9となります。

一次関数の式はどうやって出すの?(2点を通る直線の式)

2点を通る直線を求めるパターンは頻繁に使います。
解き方のアプローチが2通りあるので、解きやすい方法を選んでマスターするのがいいでしょう。具体的には、
① 変化の割合からaを求めてからbを出す方法。
② 連立方程式を作り、a,bを両方いっぺんに出す方法。


例題)
点(2,5)(4,9)を通る直線の式を求めなさい。


解答①)
xは2から4まで増えているので、xの増加量は2、同様にyの増加量は4なので、
変化の割合=4÷2=2 よってaは2になります。
この時点で、求める式は y=2x+bになります。
この式に(2,5)(4,9)のどちらでもいいので好きなほうを代入して、bを出します。
(2,5)を選んだとして、 
5=2×2+b  よってb=1
したがって、直線の式は y=2x+1 となります。


解答②)
直線の式 y=ax+b に(2,5)を代入して1つ式を作り、同じように(4,9)をつかってもう一つ式を作ります。

5=2a+b
9=4a+b

この連立方程式を解くと、a=2、b=1となります。
よって求める式は、 y=2x+1 となります。

グラフの交点ってどうやって求めるの?

一次関数の問題の中で、「2つの直線の交点を求めなさい」という問題もよく出てきます。
仮にその2つの直線を、直線m、直線nとし、その交点をpとします。
点pは、直線m上の点ですので、直線mの式に代入しても成り立ちます。
同様に、点pは、直線n上の点でもありますので、直線nの式に代入しても成り立ちます。
よって、点pは、直線m、nのどちらに代入しても成り立ちます。
これを言い換えると、2つの式を同時に満たす数が、点pの値、つまり、連立方程式の解ということになります。

2つの直線だけに限らず、グラフの交点を求めるには、その2本のグラフを連立させて解を求めれば出すことができます。

一次関数の利用が難しい・・・

一次関数は幅広く応用問題があります。「長方形の辺上を点pが動く」なんていう問題だったり、列車の運行状況をダイヤグラムで表してあったり、水槽に水を入れたり抜いたり、
グラフで囲まれた図形の面積云々・・・電気料金などなどいろいろな形で問題が出されます。

数学の問題は一次関数に限らず、まず文章からどんな式が作れるか、が第一関門になります。
それがたまたまy=ax+bの形になれば、一次関数の式となり、グラフが直線になる、ということがわかる、という流れになります。
式さえ作れれば、その式を使って問題を解いていけばいいので、あとは解き方や、計算に慣れていくことが重要です。
「連立方程式の利用」や「一次関数の利用」が難しいと感じる生徒はたくさんいますが、そのほとんどの生徒が「式さえできてしまえばできる」といいます。
まずは、文章からちゃんと式を作ることができるように頑張ってみましょう。

まとめ

一次関数は、問題の中に連立方程式を必要としたり、また二次関数と複合したりと様々な問題を出しやすい分野でもあります。一次関数に限った話ではありませんが、色々な問題をたくさん解いてみることが重要です。一度経験したことのあるパターンの問題なら解きやすいですし、またそうでない問題でも、ほかの問題で考えて解いた分の経験を生かして、解答できることが多くなるでしょう。

さて、この記事をお読み頂いた方の中には
「中学生になってから苦手な科目が増えた」
「部活が忙しくて勉強する時間がとれない」
「このままだと高校受験が心配」
といった、お子さまの勉強に関するお悩みを持たれている方も多いのではないでしょうか。
中学生は授業のペースがどんどん早くなっていき、単元がより連鎖してつながってきます。
そのため、一つの単元につまづいてしまうと、そこから連鎖的に苦手意識が広がってしまうケースが多いのです。

したがって、一つ一つの単元を確実に理解しながら進めることが大切になってきます。
口で言うのは簡単ですが、これがなかなか、一人で行うのは難しいもの。

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