ルート（√）をマスターしよう｜中学生／数学

目次

• ルート(√)って何？
• ルートの計算方法・足し算引き算の仕方は？
• ルートの計算方法・掛け算割り算の仕方は？
• ルートの数はどうやって整理するの？
• 有理化、ってなに？
• ルートって覚えた方がいいの？
• ルートの中はマイナスにはならないの？
• まとめ

ルート(√)って何？

ルート（√）は、「平方根」といいます。
ルートという記号の読み方は、「root」(根、という意味)からきています。
「平方」は、２乗、という意味ですので、２乗の根、ということです。
つまり、２乗すると根から成長して記号が外れる、という仕組みです。

２乗は同じ数字を掛けることですから、√２×√２＝２、ということになります。
また、－√２×（－√２）＝２です。
そして、２の平方根は、２乗すると２になる数なので、√２と－√２、になります。

ルートの計算方法・足し算引き算の仕方は？

ルートは、xやyやπと同じ扱いになるので、同じ仲間同士じゃないと計算できません。ルートの中の数が同じ時だけ、係数を足し算、引き算します。

例）√２+√２＝２√２　　
　２√３+５√３＝７√３
　　２√５+√３－√５－４√３＝√５－３√３
　　８+√２－√２+√３＝８+√３

ルートの計算方法・掛け算割り算の仕方は？

掛け算、割り算は、ルート同士、係数同士をそのまま計算します。
例）３√２×５√３＝１５√６
　　４√２×√２＝４×２＝８
　　√１０×３√５＝３√５０←ルートの中が大きいので整理する必要あり（＜５＞参照）
　　６√６÷２√３＝３√２
　　√２÷√２＝１
　　５√１０÷√２＝５√５

ルートの掛け算をしていると、ルートの数が大きくなっていきます。ルートの中の数が大きくなってきたときは整理していく、というルールがあります。　

ルートの数はどうやって整理するの？

ルートの中にある数は、２乗すればルートが外れます（＜２＞参照）。これを利用して、出来るだけルートの中の数は小さくして答える、という決まりがあります。
例）√５０＝√２×√５×√５になるので、√５０＝５√２とします。
　　√２８＝√２×√２×√７＝２√７
「素因数分解」という技を使えば、素数だけの掛け算に分解できるので、２乗のペアを見つけやすいです（全ての数は素数だけの掛け算の式で表せる！）。
　
これによって、掛け算も工夫してできるときもあります。
例）通常計算　√１２×√８＝√９６
√９６＝√２×√２×√２×√２×√２×√３＝４√６
　
　　工夫すると　√１２＝２√３、　√８＝２√２
　　　　　　　２√３×２√２＝４√６

だいぶすっきりした計算になりますね。

有理化、ってなに？

ルートの割り算を計算しているときに、割り切れず分数にすることがあります。

このように、分母にルートが残ったとき、分母のルートを外す作業を「有理化」といいます。解答するときに、分母にルートがあるときは有理化して答える、という決まりになっています。有理化の仕方は次のところで！

有理化、ってどうやるの？

有理化は、基本的に分母と同じ数を分母と分子、両方にかければ出来ます。
上下に同じ数字を掛けるので、１を掛けていることになりますね。

やっぱり解答は、出来るだけすっきりとした方がいいですよね。
分母に整数とルートが残ったときは、（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝a²－b²を利用します。

と、なります。

ルートって覚えた方がいいの？

学校などで√２＝１．４１４２１３５６、√３＝１．７３２０５０８、
√５＝２．２３６０６７９は習うかもしれません。しかし、実際にこの数値を使う必要がある問題には「√２＝１．４１４で計算せよ」などの表記があります。
しっかり理解しておく必要があるのは、例えば、√１１は３と４の間の数、ということです（３＝√９、４＝√１６。√１１はその間なので３．・・・の数）。

よくある問題で、「√６の整数部分をａ、小数部分をｂとする」というものがあります。
この場合、√６は２と３の間なので、整数部分は２、小数部分は整数部分の２を引いたものになるので、「√６－２」ということになります。

ルートの中はマイナスにはならないの？

ルートは、「２乗するとその数になる」という意味です。２乗すると必ずプラスになるので、
２乗してマイナスになる「√－２」のような数は存在しないことになります。
ただ、計算上そういう数があったほうが都合がよい、ということがあり、新たなルールとして「２乗すると－１になる数」を作り、それを「複素数」と呼んでいます。
複素数を含めた範囲で計算するときは√－２などでてくることがあります。
高校で習うことがあるかもしれませんね。

まとめ

ルートは、実際に計算してみると意外と難しくありませんし、計算の範囲が広がるので、辺の長さを算出できたり、手の届かない高さなども計算できたりします。
高校数学では必須になりますので、計算練習をしっかりして、自分のものにしていきましょう。

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