定積分の解き方｜高校生／数学｜【公式】家庭教師のアルファ-プロ講師による高品質指導

勉強方法

積分は数Ⅱの積分法の中の単元の1つです。積分の演算は微分の演算の逆と見ることができます。よって得られた結果を微分して与えられた関数になることを確認（検算）することができます。

∫（インテグラル）について

この単元で出てくる記号∫はインテグラルと読みます。よくＣＭで耳にする「インテル入ってる？」とは違いますよー。インテグラルです。実際に数学の記号は読めなくてもかけて意味がわかればＯＫです。
ちなみに筆者は集合の単元で出てくるやなどは意味が分かるけど読めないです（笑）

検算とは

先ほど積分の結果が正しいかどうかを確認するときに微分が有効といいましたが、数学を解くにあたって、検算は正確に答えを導くためには不可欠です。
今までにならったものを振り返ると、小学校3年生のあまりのある割り算で検算を習うこととなっております。教科書には検算の名前は登場しておらず、確かめなさいという形で検算をさせる問題もあります。

例えばこんな問題です。
次の計算の答えを確かめましょう。
①33÷7＝4あまり5　　②51÷8＝6あまり3
解答　　　　　　　　解答
7×4+5＝33　　　　　8×6+3＝51

実はこれは数Aの整数の単元や数Ⅱで習う剰余の定理へ発展していくんですよ。
小学校の内容は言葉こそ難しくありませんがやっている内容や答えを導いたときに気づく傾向は先の中学校や高校数学へつながっていくものが多々あります。
それを拾いきれずに先に進むのはもったいないです。問題集の隅から隅まで様々な問題を取り組んだものに与えられる特典なのかなと思います。

積分における検算

x²をxについて微分すると
x² → 2x

となります。
どのように変化したか説明できますか？
「次数が前に来て（かけて）、１少なくなる」
といったほうがよいでしょうか。
先ほどの逆が積分なので

2xをxで積分すると
x² ← 2x

となります。
こちらもどのように変化したか説明できるでしょうか？
「次数を1増やして、増えた次数で割る」

「逆のことをしてつじつまを合わせる」

定積分は計算が面倒

高校数学は複雑な計算が出てきて、やり方がわかっていても正しい答えにならなかったり、途中で手が止まってしまうという経験はありませんか？
入試や学校のテストでそのようなことが起こってしまうと、得点できなかったり、時間が足りなかったりします。
ただ、それを「わかっていたのに…」で済ませていませんか？
あることをしないと同じようなことが起こってしまいますよ。

それは、普段の学習で「必ず正解になるまで解ききる」ことを意識すること。
また、常に「効率の良い解き方はないか模索する」ことです。
そういった事前準備をしっかり行うことでテストで正解を出すためのプロセスが解ったり、時間短縮につながっていきます。

ただ、解答をみてその流れを確認しても解答は省略されていることが多いので、なんとなく答えにたどり着かせてしまっているケースが多いです。
そのような場合にはマンツーマンの指導をお勧めします。
あなたの解答に対して、どこがどのように間違えているかを専門の先生が見つけ出して、数学の問題に対する自信へとつなげていきます。

計算のコツ

ここで定積分の筆者が行っている計算のコツを紹介しましょう。

ここで（　）のなかを先に計算してしまいがちですが通分の手間を考えると

を先に計算したほうがミスが少なくなると思います。

定積分の計算の場合は分母の違う分数が多く登場してきます。
同じ分母どうしを先に計算したほうが通分、約分に気をとらわれず、分母が同じものの計算に集中して行うことができると筆者は思っております。

定積分の性質

定積分の性質に以下のようなものがあります。

内側に入っている関数を分けたり、まとめたりできる。

それではこの性質を使って定積分の計算をしてみましょう。
普通に計算しても答えは出ますがここは効率重視でやってみましょう。

∫や（　）の式をよく見てどの方法がベストか考えてみてくださいね。

解答編

（1）
これは∫の数が同じ、中身の式違いですね。さらに考えると、
(x + 1) ² = x² + 2x + 1、
(x – 1) ² = x² -2x + 1
となりそれを引き算すると…

（2）
今度は（　）内が一緒ですね。それから0が共通している…
しかし、真ん中マイナスになってる。

最後に

高校生たちは家庭学習時間の中で数学が一番時間がかかるという声をよく耳にします。
実際に筆者の受け持った生徒たちも確かに、解くのに時間がかかりすぎ…試験大丈夫かしら…と心配になったりします。
同様に、この記事をお読み頂いた方の中には
「高校生になってから苦手な科目が増え、成績も落ち始めた」
「部活が忙しくて勉強する時間がとれない」
「このままだと大学受験が心配」
といった、お子さまの勉強に関するお悩みを持たれている方も多いのではないでしょうか。
高校生は中学生に比べ学習量が圧倒的に多くなり、勉強の難度も上がるため、一気に挫折してしまうお子さまも多いのです。

高校生の効率的な成績向上・受験対策を行うには、現在の到達度を分析し、お子さまの状況にあわせた学習を行う必要があります。
ただ、お子さま一人で自身の現状を分析し、学習カリキュラムを組み上げるのは困難な場合がほとんどです。

家庭教師のアルファが提供する完全オーダーメイド授業は、一人ひとりのお子さまの状況を的確に把握し、学力のみならず、性格や生活環境に合わせた指導を行います。もちろん、受験対策も志望校に合わせた対策が可能ですので、合格の可能性も飛躍的にアップします。特に大学受験の場合、早い段階から学習カリキュラムを立て、計画的に対策を進める必要があるので、家庭教師は良きプランナーとしての役割も果たします。
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