三角関数・加法定理およびその他の派生公式の覚え方|高校生/数学

勉強方法

三角関数は高校数学の中でも公式が多いので有名ですが、とりわけ加法定理以降の公式は形も複雑で高校生の悩みのタネです。ただ、本当に覚えなければならないのは、sin⁡(α±β)、 cos⁡(α±β)の公式だけで、あとはこれらから全部自分で導けますし、また、それぞれの公式には語呂合わせでの簡単な覚え方などもありますので、ここではそれらについてご紹介したいと思います。

目次

sin⁡(α±β)、 cos⁡(α±β)の加法定理


まずは最も基本となるサイン、コサインの加法定理を見てみます

(1)式の暗記の仕方については有名な
「咲いたコスモス、コスモス咲いた」
「咲(sin)いたコ(cos)スモス、コ(cos)スモス咲(sin)いた」
(2)についても
「コツコツすすもう」
「コ(cos)ツコ(cos)ツす(sin)す(sin)もう」
などがあります。
この公式ももちろんきちんとした証明があるのですが、特に覚える必要はないでしょう。
(3)のうちtan(α+β)は
「タンプラタンで1枚タンタン」(+の方)
「タン(tan)プラ(+)タン(tan)で1枚(1―)タン(tan)タン(tan)」
と覚えましょう。tan(α-β)はこれのプラスマイナスを逆にすればよいのです。

2倍角の公式

さて、問題はここからです。先の加法定理の公式の次に出てくるのが2倍角、あるいは倍角の公式と言われるもので、形はサイン、コサイン、タンジェントで次のようになっています。

まずはこれらの式を加法定理から求めてみましょう。


この変形は比較的簡単なので、自分で求めてもよいのですが、公式の覚え方としては
「二倍のサインはニッシン興業」
「二倍のサインはニ(2)ッシン(sin)興(cos)業」
というのがあります。


さて、ここで、以前に学習した三角関数の相互関係というものを思い出してください。
sin²∝+cos²∝=1
という式がありましたね?
ここから

となり、(5)式がすべて求められます。
(5)式の覚え方としては、まずは最初の式を
「ニコスはコツコツ毎日お茶の子さいさい」
「ニコス(cos2α)はコツコツ(cos²∝)舞(-)日お茶の子さいさい(sin²∝)」
と暗記し、あとの変形は相互関係から自分で導いた方が簡単だと思います。


これもまず加法定理から式を導いてみましょう。

こちらも比較的簡単なので、自分で導いてもよいかもしれませんが、
「牛タン二倍、ニタニタしながら一枚淡々」
「牛タン二倍(tan2α)、ニタニタ(2tanα)しながら一枚(1―)淡々(tan²∝)
という覚え方があります。

半角の公式

次は半角の公式です。まずは、公式を確認しましょう。

以下、それぞれの公式について、その求め方と覚え方を見ていきます。


この式を求めるには、まず、先のcosの二倍角の公式の一つである
cos2∝=1-2sin²∝
を思い出してください。この式を変形すると

となり、(8)式が得られます。
この式は、
「再犯は、一人の舞妓に二回まで」
「再犯(sin半)は、一人(1)の舞(―)妓(cos)に二(分母の2)回まで」
と覚えましょう。


これもやはりcosの二倍角の公式を使います。
今度は
cos2∝=1-2cos²∝-1
の方で、
これを変形すると

となって(9)が得られます。
この式は
「湖畔では、一人ぷらぷら越すには二泊」
「湖畔(cos半角)では、一(1)人ぷらぷら(+)越すに(cosα)は二(分母の2)泊」
と覚えましょう。


さて、最後にtanの半角の公式ですが、
これは(8)と(9)の式を組み合わせると簡単に導けるので、暗記するよりそちらの方がよいでしょう。

となり、(10)式となります。
これは無理やり語呂合わせするより、サイン、コサインの半角の公式からの流れで覚えておいた方がよいと思います。

三角関数のその他の公式

三角関数にはその他にも三倍角の公式や、積和、和積の公式などもありますが、理系の人でないとあまり使う機会はないので、ここでは半角の公式までということにしておきます。
まずは加法定理、二倍角、半角の公式までをしっかり覚えて、更に必要ならば三倍角等の公式等にもチャレンジしていってみてください。

まとめ

如何でしたか?冒頭でも述べたように、三角関数は高校数学のなかでも多くの生徒が苦労する単元の一つです。

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こちらの記事の監修者

 浅井保(あさい たもつ)
・北海道大学文学部卒
・家庭教師のアルファ 講師部長
・山手中央高等学院 学院長

 
2008年に『家庭教師のアルファ』のプロ家庭教師として活動開始。
現在、株式会社アルファコーポレーション講師部部長、および同社の運営する通信制サポート校・山手中央高等学院の学院長を兼務しながら講師として指導にも従事。