目次
初めにすること
まず、二次方程式はいきなり解いてはいけません。
なぜなら二次方程式には解き方自体が３つも存在するので、どの解き方で解くかを決めなければいけないのです。
３つの解き方には、
①：因数分解による解法
②：解の公式による解法
③：平方根による解法
があります。
どれで解けば良いのかと言うと、因数分解で解きます。
因数分解で解けない問題もあるので、そういった場合は解の公式を用います。
平方根は利用しなくても二次方程式は解けますが、利用した方が速く解ける問題があるので、その時に用います。
では最初に、因数分解による解法を見てみましょう。
①：因数分解
x²+8x+7=0
因数分解が出来れば解き方は大丈夫だと思いますが、まず3番目の項の数字の「7」に注目して、かけ算で7になる組み合わせを考えます。7になるかけ算は1×7(7×1)しかありませんね。
次に2番目の項の数字である「8」に注目して、足し算で先程考えた1と7の組み合わせを足してみます。そうすると丁度8になりますね。足し算とかけ算、どちらの組み合わせでもピッタリ合えば、因数分解は完了です。
(x+1)(x+7)=0
そして、二次方程式では最後にxがいくつであるかを出さなければなりませんが、xは因数分解で得られた答えの符号が逆になったものが答えになりますので、
x=-1,x=-7
が解答となります。
【符号が逆になる理由】
なぜ二次方程式の解答が因数分解で得られた答えと符号が逆になるのかというと、カッコの中が0にならないといけないからです。
(x+1)のxに1を代入しても
(1+1)=2になってしまいます。符号が逆だと
(-1+1)=0で無事0になります。
さらになぜカッコの中が0にならなければいけないかと言うと、
(x+1)(x+7)=0は(x+1)×(x+7)=0のかけるを省略したもので、式としては○×△といった、かけ算の式なのです。
かけ算の答えが0になる為には、小学校で勉強した通り0を含むかけ算でないといけませんね？
そのため、因数分解した後、その答えの符号を逆さまにしたものが二次方程式の解答となる訳です。
まあ、その辺の理屈は知らなくても問題は解けますので、あまり気にしなくても大丈夫です。
次は、解の公式です。
②：解の公式
x²+6x+7=0
この様な問題は因数分解が出来ませんので、解の公式を用います。解の公式は文字通り公式なので、公式を覚えて、公式に代入して、計算あるのみです。公式は、
x=-b±√b²-4ac/2a
と、なっています。こんなの覚えられないと思った人も多いかと思いますが、私も含めて初めて見た時は皆同じ感想を抱くのではないでしょうか？
これが意外と何度か書いたり、見ながらでも使っていくと覚えられるものですので、あまり難しく捉えずに少しずつ覚えていきましょう。
x²+6x+7=0
の問題で言うと
x²,6x,7の順番にa,b,cとなっていて
ax²+bx+c=0なので、この場合
a=1,b=6,c=7となります。これを公式に代入して計算です。
じつは、二次方程式というのは解の公式で全て解けます。なぜわざわざ因数分解でも解くのかといえば、見て分かる通り、解の公式の計算がとても面倒だからですね。
時間もかかり、出来れば使いたくはないのです。ですので、因数分解で解けない時に限り用いるのが良いです。
最後は、平方根による解法です。
こちらについては、もちろん出来た方が良いと思いますが、最悪マスター出来なくても構いません。
なぜなら「①：因数分解による解法」と「②：解の公式による解法」の2つで二次方程式は全て解けるからです。
ただ、マスター出来れば、より正確性や計算速度は上がりますし、定期テストによっては｢平方根を用いて｣というただし書きがある問題もあり得るので、頑張れる人はもう一つだけ頑張りましょう。
③：平方根
まず、平方根を用いた方が良いタイプの問題である事を見分けなければいけませんし、そこが1番難しいところかもしれません。
平方根を用いた方が良い問題の特徴は、式に｢xが含まれていない事｣です。ちなみにx²はxではないので注意してください。
例として、
x²=5
x²=16
(x-2)²=7
など、があります。最後の式はxが式の中にあるように見えますが(カッコ)の二乗というように、二乗として捉えます。
解き方は、左辺は二乗を取り、右辺は平方根にする、ですね。実際に見てみましょう。
x²=5
x=±√5
平方根の単元で学習した通り、平方根にする時は±である事に注意しましょう。
やはり解の公式を用いた計算よりも、計算はずっと楽です。
最後はやっぱり練習！
以上で、二次方程式の解き方は全てとなります。
他の計算問題同様、解き方を理解した上で、実際に色々な問題を解き慣れていかなければいけない事は、これまでの計算問題と同様です。
問題の種類によっては、困ってしまう場面も出てくるかもしれませんが、基本的な考え方は上記の3つの解き方が全てなので、あとは落ち着いて1つ1つの問題を解決していきましょう。
きっと出来るようになっていけるはずです。
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こちらの記事の監修者
浅井保(あさい たもつ)
・北海道大学文学部卒
・家庭教師のアルファ 講師部長
・山手中央高等学院 学院長
2008年に『家庭教師のアルファ』のプロ家庭教師として活動開始。
現在、株式会社アルファコーポレーション講師部部長、および同社の運営する通信制サポート校・山手中央高等学院の学院長を兼務しながら講師として指導にも従事。
