目次
①比例式ってなんだろう？
比例式とは下のような2つの比が等しいですよ、
a:b = c:d
ということを表した等式のことですね。
どういうときに2つの比が等しいっていえるかというと、比の値が等しいときなんです。
比が a:b のとき
比の値は a/b になります。
すると、左辺の「a:b」の比の値は「a/b」、右辺の「c : d」比の値は「c/d」になります。
つまり、「a: b = c:d」となるときは2つの比の値が等しくなり 「a/b=c/d」となることを意味します。
a:b = c:d ならば a/b=c/d
このことから「比例式の性質」の式が得られます。次は「比例式の性質」の式を作ってみましょう。
②「比例式の性質」ってなんだろう？
教科書には「比例式の性質」の式は、
a: b = c:d ならば ad = bc
となりますと書いてありますね。
これは先程説明した、
a:b = c:d ならば a/b=c/d
という関係から求めることが出来ます。
では式変形をして「比例式の性質」の式を導いてみましょう。
まず、分母をはらうために両辺に「bd」をかけます。
bd × a/b = c/d × bd
すると、分母が約分されて消えて、
ad = cd
になります。
ということは、
a:b = c:d ならば a/b=c/d
さらに、
a/b=c/d ならば ad = bc
なので、
a: b = c:d ならば ad = bc
の「比例式の性質」の式が得られるわけです。
次はこの式を使って実際に問題を解いてみましょう。
③そとそとなかなかって？
a: b = c:d ならば ad = bc
ですが、実際にはどうやって使うのでしょう？
比例式を解くには「比例式の性質」を使って比例式を方程式に書き換えて解きます。
この式、よくよく見てみると「比の外側同士」「比の内側同士」の項をかけていることがわかります。
┏━ × ━┓
a : b = c : d → a×d=b×c
┗ × ┛
このことを外項の積・内項の積と言います。
これで比例式→方程式の書き換えが出来るわけです。
でも言いにくいし覚えにくいので、
比例式は、
a: b = c:d ならば ad = bc
↓
比例式は、外同士を掛けたものと、中同士を掛けたものは等しい
↓
比例式は、外×外=中×中
↓
比例式は、そとそとなかなかと覚えましょう。
それでは、そとそとなかなかを使って問題を解いてみましょう。
④比例式を解いてみよう！
では実際に次のような比例式を解いてみましょう。
a: 5 = 12:20
この場合、比例式を成り立たせるため文字aにどんな数を入れれば良いかを探します。これが「比例式を解く」ということになります。
さっそく、外×外=中×中、そとそとなかなかを使ってみましょう。
そとそとはa×20、なかなかは5×12なので、
20a = 60
になりますね。
これをaについて解いてあげれば、両辺を20で割って、
a=3
ということになります。意外に簡単ですね。
まとめると、
①a: b = c:dの形は比例式
②比例式は外×外=中×中
そとそとなかなかで方程式に書き換え
③方程式を解いて終了
まずは簡単な問題を沢山解いて、そとそとなかなかに慣れましょう。そして難しい問題もどんどん撃破してくださいね。
おわりに
比例・反比例については、アルファの公式YouTubeチャンネル「超かんたん!勉強チャンネル」でも、計8本の動画に分けて解説していますので、そちらもぜひご覧ください。
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こちらの記事の監修者
浅井保(あさい たもつ)
・北海道大学文学部卒
・家庭教師のアルファ 講師部長
・山手中央高等学院 学院長
2008年に『家庭教師のアルファ』のプロ家庭教師として活動開始。
現在、株式会社アルファコーポレーション講師部部長、および同社の運営する通信制サポート校・山手中央高等学院の学院長を兼務しながら講師として指導にも従事。
