因数分解の解き方①｜中学生／数学

目次

• 共通因数でくくる
• 乗法公式①x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
• 乗法公式②x²+2ax+a²=(x+a)²
• 乗法公式③x²-2ax+a²=(x-a)²
• 乗法公式④x²-a²=(x+a)(x-a)
• 共通因数でくくってから乗法公式を使う
• まとめ

共通因数でくくる

因数分解を行う場合、まず各項すべてにかけられている数字や文字がないか確かめます。
この「共通にかけられている文字や数字」を共通因数といいます。

例えば、
2x(a+b)=2ax+2bx
この展開をすると左辺のカッコの外の2xが右辺では共通因数となるので、2xを前に出して残りをカッコでくくるような因数分解が出来ます。
これを「共通因数でくくる」といいます。

例えば、
2a²b-8ab=2a×ab+2a×(-4b)となり、
2aが共通因数だとわかります。これを前に出して
2a²b-8ab=2a(ab-4b)となります。

乗法公式①x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

乗法公式①の(x+a)(x+b)の形に因数分解できる場合、xの項の係数はaとbの和となり、定数項はaとbの積になります。

例えば、
x²+13x+40= (x+▲)(x+■) この▲と■にあてはまる数字を探さなければなりません。
まず積が40になる2数の組み合わせを考えます。
1×40
2×20
4×10
5×8
これらの組のうち和が13になるのは8と5なので
x²+13x+40=(x+8)(x+5)となります。

また、
x²-x-12= (x+▲)(x+■)とすると
▲と■の積が定数項-12。積が負の数になるのは ▲と■の一方が負で、他方が正の場合です。積が-12になる数の組み合わせは
-1×12,
-2×6,
-3×4,
-4×3,
-6×2,
-12×1
この6つです。このうち和が-1となるのは-4と3なので
x²-x-12= (x-4)(x+3)となります。
x²-10x+24= (x+▲)(x+■)では、
定数項が正の数で、xの係数が負の数なので　▲、■共に負の数となります。
よって積が24になる数の組は
-1×(-24),
-2×(-12),
-3×(-8),
-4×(-6),
の4通りです。このうち和が-10になるのは-4と-6なので
x²-10x+24= (x-4)(x-6)となります。

たして◯、かけて◯になる2つの数字は？と数字のパズルのように考えていくとそこまで苦にならないかもしれません。

乗法公式②x²+2ax+a²=(x+a)²

乗法公式②(x+a)²の形に因数分解出来る場合、定数項がa²で、xの係数が2aになります。

例えば、
x²+16x+64定数項が64=8²、xの係数が16=2×8なので
x²+16x+64=(x+8)²となります。

乗法公式③x²-2ax+a²=(x-a)²

乗法公式③(x-a)²の形に因数分解出来る場合、②と同様定数項がa²で、xの係数が-2aになります。

例えば、
x²-12x+36　定数項が36=6²、xの係数が-12=-2×6なので
x²-12x+36=(x-6)²となります。

また、
9x²-24x+16　9x²を(3x)²、16を4²と考えて、
9x²-24x+16
=(3x)²-2×4×(3x)+4²
=(3x-4)²と因数分解出来ます。

乗法公式④x²-a²=(x+a)(x-a)

xの項がない乗法公式④は和と差の積(x+a)(x-a)=x²-a²のとき。
よって▲²- ■²=(▲+■)(▲-■)と因数分解出来ます。

例えば、
x²-81　81=9²なので　x²-81= (x+9)(x-9)となります。

公式の②〜④に関しては、9=3²、16=4²のように2乗の数をある程度覚えておくとピンとくるので便利ですね。

共通因数でくくってから乗法公式を使う

例えば、
4x²+16x+12
このままでは乗法公式に当てはまりません。
まずはそれぞれの項に注目すると全て4の倍数になっています。
そこで共通因数の4でくくり、
4(x²+4x+3)とします。あとはかっこの中は乗法公式の①に当てはまるので、
4(x+1)(x+3)と因数分解出来ます。

まとめ

いかがでしたか？
中学で習う因数分解の基本を解説していきました。
この後習う二次方程式でも使うので、解き方を覚えておかなければなりません。
高校に入ってから更に複雑になるので、まずは基本をしっかりおさえて数をこなして慣れていきましょう。

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