目次
比例
まず「比例」です。比例関係とも言いますが、ひと言で言えば比例関係とは、片方が2倍、3倍⋯となると、もう片方も2倍、3倍となるような関係です。身近な例を挙げてみましょう。
♦例1
1個100円でチョコレートが売られているとします。このとき、買うチョコレートの個数(個)と値段(円)は比例関係にあると言います。
買うチョコレートの数が1個のときは100円ですが、買う数を2個にすると値段は2倍(200円)、3個にすると値段は3倍(300円)になりますね。この関係が比例関係です。
次に、これを数式とグラフに表してみましょう。
二つの量 x と y が、y=ax という関係にあるとき、x と y は比例関係にある(y は x に比例する)と言います。( a を比例定数と言います。これについては後で説明します。)
例1を数式にしてみましょう。
買うチョコレートの数をx (個)、値段をy (円)とします。値段=チョコレート1個分の値段(100円)×買う個数ので、x とy に置き換えると y=100x という関係式が成立します。
また、x とy の関係をグラフに表すと上の図のようになります。(※チョコレートを10個まで買った場合)
反比例
次に「反比例」です。二つの量において片方が2倍、3倍・・・となると、もう片方が1/2倍、1/3倍となるとき、その二つの量は反比例すると言います。
♦例2
12個のから揚げを同じ数ずつ山分けするとき、山分けする人数(人)と1人あたりの個数(個)は反比例します。
実際に考えてみましょう。山分けする人数が2人のときは1人あたり6個ですが、人数を2倍(4人)にすると1人あたり3個(1/2になる)、人数を3倍(6人)にすると1人あたり2個(1/3になる)です。
例2を数式にしてみましょう。
「x とy が反比例する」とは
・x が2倍になるとy が1/2倍
・x が3倍になるとy が1/3倍
と言う意味でした。
これは、x とy のかけ算であるxy が一定であることと同じ意味です。
つまり、x とy が反比例する場合には定数a を使って、xy=a と表すことができます。これをy について解くと
y=a/x となります。これが反比例の式です。
例2でいえば、12個のから揚げを同じ数ずつ山分けするとき、山分けする人数( x )と1人あたりの個数( y )の間の関係式は
Y=12/x です。
また、x とy の関係をグラフに表すと上の図のようになります。
比例と反比例の練習問題を解いていきましょう
♦比例の問題
束になっている針金があります。この針金の束の重さをはかると1200g でした。また、同じ針金2mの重さをはかると60gでした。このとき次の問いに答えなさい。
(1)針金xmの重さをygとして、yをxの式で表しなさい。
(2)針金の長さと重さは比例するので、y=ax の式で表すことができます。束になっている針金の長さを求めなさい。
~解答~
(1)針金の長さと重さは比例するので、y=axの式で表すことができます。
針金2mが重さ60gなので1mの重さは30g。よって、y=3x
答え y=30x
(2)y=30xの式に、束になっている針金の重さy=1200 を代入することで、xを求めることができます。
1200=30x
x=1200/30
x=40
答え 40m
♦反比例の問題
yはxに反比例し、x=-4のときy=5である。これについてyをxの式で表しなさい。
束になっている針金があります。この針金の束の重さをはかると1200g でした。また、同じ針金2mの重さをはかると60gでした。このとき次の問いに答えなさい。
(3)針金xmの重さをygとして、yをxの式で表しなさい。
(4)針金の長さと重さは比例するので、y=ax の式で表すことができます。束になっている針金の長さを求めなさい。
~解答~
y=a/xまたはa=xyに、xとyの値を代入してaを求めます。
a=-4×5=-20 よって、y=-20/x
答え y=-20/x
基本となる式の形を覚えること
ここまで学んだように、比例と反比例は基本となる式の形を覚えてしまえば、比較的簡単に解くことができます。あとは問題をたくさん解くことで解き方を覚えてしまうことです。
がんばりましょう。
おわりに
比例・反比例については、アルファの公式YouTubeチャンネル「超かんたん!勉強チャンネル」でも、計8本の動画に分けて解説していますので、そちらもぜひご覧ください。
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こちらの記事の監修者
浅井保(あさい たもつ)
- ・北海道大学文学部卒
- ・家庭教師のアルファ 講師部長
2008年に『家庭教師のアルファ』のプロ家庭教師として活動開始し、数多くの生徒への学習指導を経験。
現在、株式会社アルファコーポレーション講師部部長。