目次
①比例式ってなんだろう？
比例式とは下のような2つの比が等しいですよ、
a:b = c:d
ということを表した等式のことですね。
どういうときに2つの比が等しいっていえるかというと、比の値が等しいときなんです。
比が a:b のとき
比の値は a/b になります。
すると、左辺の「a:b」の比の値は「a/b」、右辺の「c : d」比の値は「c/d」になります。
つまり、「a: b = c:d」となるときは2つの比の値が等しくなり 「a/b=c/d」となることを意味します。
a:b = c:d ならば a/b=c/d
このことから「比例式の性質」の式が得られます。次は「比例式の性質」の式を作ってみましょう。
②「比例式の性質」ってなんだろう？
教科書には「比例式の性質」の式は、
a: b = c:d ならば ad = bc
となりますと書いてありますね。
これは先程説明した、
a:b = c:d ならば a/b=c/d
という関係から求めることが出来ます。
では式変形をして「比例式の性質」の式を導いてみましょう。
まず、分母をはらうために両辺に「bd」をかけます。
bd × a/b = c/d × bd
すると、分母が約分されて消えて、
ad = bc
になります。
ということは、
a:b = c:d ならば a/b=c/d
さらに、
a/b=c/d ならば ad = bc
なので、
a: b = c:d ならば ad = bc
の「比例式の性質」の式が得られるわけです。
次はこの式を使って実際に問題を解いてみましょう。
③そとそとなかなかって？
a: b = c:d ならば ad = bc
ですが、実際にはどうやって使うのでしょう？
比例式を解くには「比例式の性質」を使って比例式を方程式に書き換えて解きます。
この式、よくよく見てみると「比の外側同士」「比の内側同士」の項をかけていることがわかります。
┏━ × ━┓
a : b = c : d → a×d=b×c
┗ × ┛
このことを外項の積・内項の積と言います。
これで比例式→方程式の書き換えが出来るわけです。
でも言いにくいし覚えにくいので、
比例式は、
a: b = c:d ならば ad = bc
↓
比例式は、外同士を掛けたものと、中同士を掛けたものは等しい
↓
比例式は、外×外=中×中
↓
比例式は、そとそとなかなかと覚えましょう。
それでは、そとそとなかなかを使って問題を解いてみましょう。
④比例式を解いてみよう！
では実際に次のような比例式を解いてみましょう。
a: 5 = 12:20
この場合、比例式を成り立たせるため文字aにどんな数を入れれば良いかを探します。これが「比例式を解く」ということになります。
さっそく、外×外=中×中、そとそとなかなかを使ってみましょう。
そとそとはa×20、なかなかは5×12なので、
20a = 60
になりますね。
これをaについて解いてあげれば、両辺を20で割って、
a=3
ということになります。意外に簡単ですね。
まとめると、
①a: b = c:dの形は比例式
②比例式は外×外=中×中
そとそとなかなかで方程式に書き換え
③方程式を解いて終了
まずは簡単な問題を沢山解いて、そとそとなかなかに慣れましょう。そして難しい問題もどんどん撃破してくださいね。
おわりに
比例・反比例については、アルファの公式YouTubeチャンネル「超かんたん!勉強チャンネル」でも、計8本の動画に分けて解説していますので、そちらもぜひご覧ください。
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こちらの記事の監修者
浅井保(あさい たもつ)
- ・北海道大学文学部卒
- ・家庭教師のアルファ 講師部長
2008年に『家庭教師のアルファ』のプロ家庭教師として活動開始し、数多くの生徒への学習指導を経験。
現在、株式会社アルファコーポレーション講師部部長。
