目次
一次関数の式は？
一次関数の式は、『ｙ＝ax+b』という式で表せます。この式は何を表しているかというと、
直線になる、ということです。
比例のところで、比例の式はy=axで、原点を通る式になる、ということを習っていると思います。一次関数と比例の式を比べると、違いは+bのところだけになりますね。
この+bは上下に移動していることを意味します。
一次関数の式の意味
では、一次関数の式 ｙ＝ａｘ＋ｂ からどんなことが読み取れるのでしょうか。
先ほど、ｂについては「上下に移動する」と説明をいたしました。
このｂは、『切片』と呼ばれます。
ｘを０にすると、ｙ＝ａｘ＋ｂの式は、ｙ＝ｂとなります。
ｘは０なので、（０．ｂ）の点はｙ軸上の点です。
ｂをみるとこの直線がｙ軸上のどこを通るかがわかります。
前項の「上下の平行移動」ということを踏まえても、原点からｂだけ移動した点ですから、
ｙ軸上の点になることがわかります。
次に、ａについて、ａは『傾き』と呼ばれます。
ｘが１ずつ増えると、ｙはａの分だけ増えていきます。この増えかたによって直線の傾き方が決まる、ということです。
aの値が大きいほど、直線の傾斜が大きくなり（y軸に近い直線になり）、小さいほど傾斜もなだらかになります。また、aが正の数なら、直線は右上がりとなり、負の数なら右下がりの直線になります。
変化の割合って何？
変化の割合は、（ｙの増加量）÷（ｘの増加量）で求められる数です。
一次関数のところで習うのですが、なんかピンとこないかもしれませんね。
（ｘの増加量）のところを１としてみましょう。そうすると、「ｘが1のとき、変化の割合はｙの増えた分になる」という意味になります。
ここで、前の項目のａのところをみてください。
「ｘが１ずつ増えると、ｙはａの分だけ増えていきます」とあります。
上の分と見比べると、「変化の割合はａになる」ということがわかります。
直線の場合、進み方は一定となるので、変化の割合も一定で、ａと同じになります。
変化の割合を求める式は、そのままａを求める式にもなっています。
（注意点）
一次関数は直線の式になるから変化の割合＝ａとなりますが、直線でない場合（放物線や双曲線など）は、変化の割合が一定ではないので、その都度計算が必要になります。
一次関数の式はどうやって出すの？
一次関数の式を求める問題はかなりよく出てきます。直線の式を直接求める問題でなくても、それを使って解く問題も多いです。
一次関数の式はｙ＝ａｘ＋ｂですから、作業としてはａとｂを求めることになります。
問題を解くパターンとしては、ａとｂのどちらかがわかっていて、その式にｘとｙを代入してもう一方を出すことが多いです。
それでは、実際に一次関数の問題をやってみましょう！
例題）
傾きが３で、点（２、４）を通る直線の式を求めなさい。
解答）
傾きが３であることから、ａ＝３であることがわかります。
この時点でこの式はｙ＝３ｘ＋ｂとなります。
これが（２，４）を通るから、ｘ＝２、ｙ＝４を代入します。
４＝３×２＋ｂになります。
これを解いて、ｂ＝－２
よってこの式は、ｙ＝３ｘ－２
となります。
例題２）
一次関数で、ｘが１から３まで増加するとき、ｙは３から－１まで減少し、ｘが４のときｙは１である。この式を求めなさい。
解答）
ｘが２増えると、ｙは４減少します。これから変化の割合を計算します。
－４÷２＝－２ ですので、ａ＝－２になります。この時点での式は、
ｙ＝－２ｘ＋ｂ になりますね。これに、ｘ＝４、ｙ＝１を代入します。
１＝－２×４＋ｂ これを解いてｂ＝９
よって答えはｙ＝－２ｘ＋９となります。
一次関数の式はどうやって出すの？（2点を通る直線の式）
2点を通る直線を求めるパターンは頻繁に使います。
解き方のアプローチが2通りあるので、解きやすい方法を選んでマスターするのがいいでしょう。具体的には、
① 変化の割合からａを求めてからｂを出す方法。
② 連立方程式を作り、a,ｂを両方いっぺんに出す方法。
例題）
点（２，５）（４，９）を通る直線の式を求めなさい。
解答①）
ｘは２から４まで増えているので、ｘの増加量は２、同様にｙの増加量は４なので、
変化の割合＝４÷２＝２ よってaは２になります。
この時点で、求める式は ｙ＝２ｘ＋ｂになります。
この式に（２，５）（４，９）のどちらでもいいので好きなほうを代入して、ｂを出します。
（２，５）を選んだとして、
５＝２×２＋ｂ よってｂ＝１
したがって、直線の式は ｙ＝２ｘ＋１ となります。
解答②）
直線の式 ｙ＝ａｘ＋ｂ に（２，５）を代入して１つ式を作り、同じように（４，９）をつかってもう一つ式を作ります。
５＝２ａ＋ｂ
９＝４ａ＋ｂ
この連立方程式を解くと、ａ＝２、ｂ＝１となります。
よって求める式は、 ｙ＝２ｘ＋１ となります。
グラフの交点ってどうやって求めるの？
一次関数の問題の中で、「２つの直線の交点を求めなさい」という問題もよく出てきます。
仮にその２つの直線を、直線ｍ、直線ｎとし、その交点をｐとします。
点ｐは、直線ｍ上の点ですので、直線ｍの式に代入しても成り立ちます。
同様に、点ｐは、直線ｎ上の点でもありますので、直線ｎの式に代入しても成り立ちます。
よって、点ｐは、直線ｍ、ｎのどちらに代入しても成り立ちます。
これを言い換えると、２つの式を同時に満たす数が、点ｐの値、つまり、連立方程式の解ということになります。
２つの直線だけに限らず、グラフの交点を求めるには、その２本のグラフを連立させて解を求めれば出すことができます。
一次関数の利用が難しい…
一次関数は幅広く応用問題があります。「長方形の辺上を点ｐが動く」なんていう問題だったり、列車の運行状況をダイヤグラムで表してあったり、水槽に水を入れたり抜いたり、
グラフで囲まれた図形の面積云々・・・電気料金などなどいろいろな形で問題が出されます。
数学の問題は一次関数に限らず、まず文章からどんな式が作れるか、が第一関門になります。
それがたまたまｙ＝ａｘ＋ｂの形になれば、一次関数の式となり、グラフが直線になる、ということがわかる、という流れになります。
式さえ作れれば、その式を使って問題を解いていけばいいので、あとは解き方や、計算に慣れていくことが重要です。
「連立方程式の利用」や「一次関数の利用」が難しいと感じる生徒はたくさんいますが、そのほとんどの生徒が「式さえできてしまえばできる」といいます。
まずは、文章からちゃんと式を作ることができるように頑張ってみましょう。
まとめ
～一次関数の対策は、色々な問題を解いてみること～
一次関数は、問題の中に連立方程式を必要としたり、また二次関数と複合したりと様々な問題を出しやすい分野でもあります。
一次関数に限った話ではありませんが、色々な問題をたくさん解いてみることが重要です。
一度経験したことのあるパターンの問題なら解きやすいですし、またそうでない問題でも、ほかの問題で考えて解いた分の経験を生かして、解答できることが多くなるでしょう。
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こちらの記事の監修者
浅井保(あさい たもつ)
- ・北海道大学文学部卒
- ・家庭教師のアルファ 講師部長
2008年に『家庭教師のアルファ』のプロ家庭教師として活動開始し、数多くの生徒への学習指導を経験。
現在、株式会社アルファコーポレーション講師部部長。
