指数方程式の解き方｜高校生／数学｜【公式】家庭教師のアルファ-プロ講師による高品質指導

勉強方法

指数について

数学における指数とはaをn個かけ合わせたものをaのｎ乗といい、aⁿと書きます。
その時のnを累乗の指数といいます。
日常生活においても〇〇指数という言葉を耳にしませんか？
例えば、「物価指数」や「知能指数」などで「物価指数」であれば年々または月々の物価の変動を数値で表したものですし、「知能指数」であれば知能の程度を示す指標として使われています。
かの有名なアインシュタインは160～190くらいといわれています。でもここで扱う指数は数の右上にあるちびっこい数のことですよ。
指数方程式に行く前にウォーミングアップをしてみましょう。

下の数の大きさを比べてみよう

これをみて手が止まってしまう人はいませんか？まずは、一歩踏み出して方針を立ててみませんか？
底がそろっているか…でも2や3がいてうまくいかない
ならば累乗の指数部分について整理してみるか…などと考えを巡らせてみてください。
でも、自分の考えた方針で正しいのか…より良い方法はないのか…となって考えに自信が持てずに…
まっ、いいか。
テストや入試まで時間あるし…放置！

そんなことはありませんか？数学を伸ばすにはこういう問題が進化のチャンス！なんです。
入試直前には通用しませんが、普段の学習ではこのような場合は、しっかり考え抜くことが大切です。
考え抜いても答えにたどり着けなかったりします。
そのようなときは時間をおいて考えてみることも必要ですし、どうしてもわからないときは解説をみて理解してみましょう。
そういう流れがしっかりできると模試や入試での初見の問題で効果を発揮することでしょう。
しかしそれを一人で行うとなると、放置してしまう問題があったり、理解したつもりになってしまう問題が多くなってしまうかもしれません。
そんな場合は、マンツーマンの先生と一緒にすることをお勧めします。

自分で立てた道筋が正しいかその場でわかる
理解したつもりの問題を探してくれる
放置問題を作らない

模試に強くなる！
そんなよいループが可能になってきます。

それでは先ほどの問題に取り掛かるとしましょう。
このような問題の場合は、大小比較の回数はなるべく少なくなる様にしたいところです。
この場合は、底に2と3が登場してきてますので、それぞれに分けて大小を比較します。
4とを比べると4＝2²となり、互いに底は2となりますから指数部分を比較します。
指数部分に？で止まってしまわないですか？
今一度、この場合の数の大小の見分けを確認していきましょう。
・底をそろえて、指数の大小で比較する。
・＝1.732…（ひとなみに…）
ですのでとなります。
先ほど大小を比べたものを書き並べてみると

ここで、4とで大きさが解ればいいなーの願いを込めて大きさを比べることとしましょう。
この場合は底が違うので
・何乗かして比較する
はで
指数部分はですので、両辺を3乗していきます。

ということで
4＜となります。
したがって

この問題を解くときのコツは
・一つ一つが面倒になりがちになるときは、効率の良い方法を探す。
・同じ作業でも面倒がらずに行う。

この問題に限らず、数学の問題を解く際には頭の中で処理を行わず、一つ一つ書き起こして、紙面で処理するように心がけてください。問題の作成者は、あえて面倒な問題を出して、解答者に効率の良い方法を見つけてほしかったり、面倒な繰り返しの中で基礎を確立させたいと思って問題を作っているかもしれません。
こういう作成者のメッセージに答えることができるようになってくると何気に数学が楽しくなってくるかもしれませんね。
ウォーミングアップはここまでで指数方程式の問題にいきます。
4^x＋2^x＋1-24＝0

解答

2^x＝Xとおくと(X＞0)　※置き換えの後は範囲に注意！
X²＋2X-24＝0
因数分解をして
（X＋6)(X-4)=0
X=-6,4
X＞0よりX=4
2^x＝4
2^x=2²
ｘ＝2 

指数方程式を解くコツ
・底をそろえる。
・置き換えが必要な場合は置き換え（置き換えた後は範囲に注意）
もし、底がそろっていない場合は対数を使って解かなければいけません。
例えば、2^x=3のような形になってしまった場合は^x=log2₃のように答えてください。

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