目次
恒等式とは
恒等式とは、変数がどの数値を取っても成り立つ等式のことです。これに対し、変数が決まった値の時だけ成り立つ等式が方程式です。
例えば中学で習った乗法公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
これはa,bがどんな値であっても成り立つ等式なので、恒等式と言えます。
一方、
2x+5=3x+4
のような方程式。これはx=1の時しか成り立たないので恒等式とは言えません。
恒等式の性質
恒等式の性質は主に次の２つで説明できます。
・P(x)=0がxについての恒等式である場合、
P(x)の各項の係数は、すべて0である。
・P(x)=Q(x)がxについての恒等式である場合、
P(x)とQ(x)の同じ次数の項の係数は一致する。
具体例を挙げますと、
ax2+bx+c=0がxについての恒等式である場合、
a=0, b=0, c=0
ax2+bx+c=Ax2+Bx+Cがxについての恒等式である場合、
a=A, b=B, c=C
が成り立ちます。
恒等式の性質の証明
なぜ恒等式の性質が成り立つかの証明をします。
a, b, c, A, B, Cが実数として、
ax2+bx+c=Ax2+Bx+C…①がxについての恒等式であるなら、xにどんな値を代入しても等式が成り立ちます。
よって、①にx=0, 1, －1を代入すると、
x=0のとき、
c=C…②
x=1のとき、
a+b+c=A+B+C…③
x=－1のとき、
a－b+c=－A－B+C…④
③､④に②を代入して、
a+b=A+B
a－b=－A－B
これを解いて、a=A, b=B
よってa=A, b=B, c=C
したがって、ax2+bx+c=Ax2+Bx+Cがxについての恒等式である場合、
a=A, b=B, c=C
が成り立ちます。
恒等式の解き方
それでは実際に恒等式の問題を解いてみましょう。
恒等式の解き方には大きく分けて「係数比較法」と「数値代入法」の２つがあります。
(例題)
等式
a(x－1)2+b(x－1)+c=2x2+3x+4
がxについての恒等式となるように、a, b, cの値を求めよ。
これを２つの解き方で説明します。
係数比較法
係数比較法とは、恒等式の同じ次数の項の係数が一致する性質を利用して解く方法です。
まず左辺を整理します。
a(x－1)2+b(x－1)+c=a(x2－2x+1)+bx－b+c
=ax2－2ax+a+bx－b+c
=ax2+(－2a+b)x+a－b+c
左辺と右辺の係数が一致するので、
a=2
－2a+b=3
a－b+c=4
これを解いて、a=2, b=7, c=9
数値代入法
数値代入法とは、恒等式の性質、xがどんな値でも等式が成り立つことを利用した解き方です。xに適当な値を代入して、定数を求めます。
ただし注意点として、最後に求めた定数で恒等式になることを確認する必要があります。
等式
a(x－1)2+b(x－1)+c=2x2+3x+4は恒等式なので、x=0, 1, 2を代入しても成り立つ。
x=0を代入すると、
a－b+c=4…①
x=1を代入すると、
c=9…②
x=2を代入すると、
a+b+c=18…③
②を①と③に代入して、
a－b=－5
a+b=9
これを連立させて解くと、
a=2, b=7
よってa=2, b=7, c=9
これを左辺に代入すると、
a(x－1)2+b(x－1)+c=a(x2－2x+1)+bx－b+c
=ax2－2ax+a+bx－b+c
=ax2+(－2a+b)x+a－b+c
=2x2+(－4+7)x+2－7+9
=2x2+3x+4
左辺=右辺となったので、与式は恒等式である。
このように、数値代入法では求めた定数を代入して恒等式であることを確認する必要があるので少し面倒です。
基本的には係数比較法を使い、数が大きすぎて計算が大変になる場合は数値代入法を使うようにすればよいでしょう。
まとめ
最後に恒等式についてまとめましょう。
恒等式とは…変数にどんな値を代入しても成り立つ等式。
恒等式の性質…左辺と右辺の各係数が一致する。
恒等式の解き方
係数比較法…左辺と右辺の各係数を比較して、定数を求める。
数値代入法…変数に適当な数値を代入して、定数を求める。
(※最後に恒等式であることを確認する必要がある)
以上、恒等式についての基本を解説いたしました。しっかり理解できたでしょうか？
まずは基本の問題で練習して、恒等式の考え方を使った応用問題にもチャレンジしていきましょう。
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こちらの記事の監修者
浅井保(あさい たもつ)
・北海道大学文学部卒
・家庭教師のアルファ 講師部長
・山手中央高等学院 学院長
2008年に『家庭教師のアルファ』のプロ家庭教師として活動開始。
現在、株式会社アルファコーポレーション講師部部長、および同社の運営する通信制サポート校・山手中央高等学院の学院長を兼務しながら講師として指導にも従事。
