三角関数の解き方｜高校生／数学｜【公式】家庭教師のアルファ-プロ講師による高品質指導

勉強方法

いきなりですが、下の問題見てください。

aは定数とする。θに関する方程式cos2θ-sinθ+a=0について、次の問いに答えなさい。
ただし、0≦θ＜２πとする。

（1）この方程式が解をもつためのaの条件を求めよ。
（2）この方程式の解の個数をaの値の範囲によって調べよ。

この問題を初見で解くことができる方はいったいどのくらいいるのだろうと考えてしまいます。
なぜそのように思うかといいますと、教科書の例題以上の問題だからです。
高校数学を攻略していくにはまず、教科書の例題を再現できるようにして、類題でも解けることが必要十分条件です。
教科書の例題は習っている単元からそれほど逸脱しないのですが、この問題は数2の三角関数の三角方程式ですが、数1の二次関数や二次方程式の知識を駆使していかなければいけないからです。

解き方のコツ

ただ、解き方がわかってても手が止まってしまう方が多くいることと思います。でも、ご安心ください。このような問題でも
①問題文の解釈をしっかりする。
②解き方のプロセスを丁寧に行っていく。
ことで解決できちゃうんです。

でも、ただ解き方、内容がわかってもそのあと似たような問題ができるかというとそうではないんです。
③理解したものを再現してみる。
④時間がたった後、同じようにできるか確認をする。
という行程を経て行わないとできるようにはなりません。

①～④までの流れをしっかり行うにはプライベートレッスンがおすすめです。
特に③、④の手順は、自分で勉強していくと加減がわからないものです。「多分このくらいで大丈夫かなぁ。」「これだけやったから恐らく、大丈夫。」となって基準が甘くなってしまい、実はあやふやな状態のまま、テストや試験を受けてしまった経験ありませんか？
プライベートレッスンであれば、そばでみている先生が発見してアドバイスをしてくれます。アドバイスはできるだけ優しいほうがいいなー。きつく言われると怖いし…とおもっている方がいらっしゃると思いますので、やさしさの加減もオーダーできちゃうのがプライベートレッスンの良さだと思います。

数学攻略のコツ

数学に抵抗のある方の中には、問題文を読んで何を言っているのかがよくわからないという方が多く見られます。
そういう方は、まず数学用語に慣れていないため読み解くのに苦労することが多いと思われます。それか、全く読んでいないとか…
数学の問題文って、「～せよ」などと上から目線の文章が気に入らないという方もいるかもしれません。私もそのうちの一人です。なんか命令口調ですよね（笑）
数学の問題を攻略していくコツとして、
①頭の中の引き出しを多く持つ
これは教科書の例題を数多くこなすこと。問題文を見たときにどこの単元かわかるようにすることです。
②問題に適応する単元を考える。
問題を見たときに、二次関数の問題とわかったりすることです。
どこの単元かがわからないときは①をしっかり行うことがおすすめです。
③試行錯誤する。
その問題に適応するものを試してみることです。試してダメなら別な方法で行ってみたりしてみましょう。

解釈編

①「aは定数とする」
ここでの解釈は（1）、（2）の問題文をみると、これから求めるであろう値あるいは範囲になります。
②「θに関する方程式cos2θ-sinθ+a=0」
この式は方程式であって解はθであること
③「ただし0≦θ＜2πとする」
これはこの方程式の解についての範囲ということになります。
この場合0以上2π未満という意味です。
以上や未満、～より大きいとかの判断も迷ったりするところですね。範囲をみて判断できるようにしておくといいかもしれません。
④「（1）この方程式が解をもつためのaの条件を求めよ」
また命令口調の文章が登場です。でもここは気にせず解釈していきましょう。（笑）
この文章では「解をもつための条件」がキーワードです。このフレーズ、三角関数の単元以外で聞いたことありませんか？
そうです。二次方程式の解の判別式です。ということは判別式を用いて解決していくことになります。がこれは判別式を使って安易に解けないんですよ。その理由は後程解決編にてお伝えします。
⑤「（2）この方程式の解の個数をaの値の範囲によって調べよ」
先ほど（1）では解をもつために必要な条件を考えましたが、個数についても聞いてきていますね。こちらは詳しい解説とともに進めていくのがいいと思いますので解釈編はここまでにしておきますね。

解法

cos2θ-sinθ+a=0はcosのところに二乗がついていますねということは、
相互関係のsin2θ+cos2θ＝1の変形したものcos2θ＝1-sin2θをあてはめていきます。

cos2θ-sinθ+a=0
1-cos2θ-sinθ+a=0
sin2θ+sinθ-1-a=0

となります。
ここでsinθ＝xとおく。
置き換えの時に注意することといえば…範囲ですね。
0≦θ＜2πだったのでsinθの範囲は-1≦sinθ≦1となり-1≦x≦1となります。

ということはこの問題は三角関数の形をした二次方程式
x2+ｘ-1-a=0
(-1≦ｘ≦1）
となります。
ここまでが（1）、（2）を解くための準備でした。

いよいよ（1）を解いていくとしましょう。
置き換えによってできた式なのですが、二次方程式として扱うには何か邪魔なものがいませんか？xの範囲です。
これを判別式で解いてしまうと、すべてのxのなかで考えてしまうことになります。
ここで範囲がついてしまっているので範囲を考慮して考えることのできる二次関数としての見立てをしていくとしましょう。
あとあと解くことを考え先ほどの方程式を
a=x2+ｘ-1
とします。
さらにこれを
y＝a
ｙ＝x2+x-1
放物線と直線に分けて考えていくこととします。
これはグラフ上で考えていくとするとまずすることは…平方完成です。

y＝（x+1/2)2-5/4

そしてグラフを書くと、上記画像のようなグラフになります。
グラフにて直線と放物線の共有点がある部分を見てあげると
下は-4/5、上は1であることが読み取れるので

-5/4≦a≦1

続いて（2）行ってみましょう。
（1）にて放物線と直線を書いたのでそれを利用して解の個数を考えることとします。
しかしここでいう解って？ｘ？θ？ここで問題文を振り返ってみよう。
問題文を見ると「θに関する方程式」と書いてありますね。
ということはθの個数で考えなくてはいけません。
落ち着いて整理していくと大丈夫です。

放物線と直線との共有点

グラフの下から見ていくと
a=-5/4のとき　　1個
-5/4≦a≦-1のとき　　2個
-1≦a≦1のとき　　1個

またsinθの解の個数
x＝-1のときθ＝π/2、x＝1のときθ＝3π/2となるときは1個
-1＜x＜1のときsinθ＝xをみたすθは2個ある。

この二つを考慮して方程式の解の個数を調べると

a＜-5/4のとき0個
a＝-5/4のとき2個
-5/4＜a＜-1のとき4個
a＝-1のとき3個
-1＜a＜1のとき2個
a＝1のとき1個
1＜aのとき0個

となります。

まとめ

いかがでしたか？この記事を見て、少しでも三角関数の解き方について理解を深めて頂けたのであれば幸いです。勉強の中でも数学は、文章だけで理解するのは難しい科目ですよね。でも、学年が進むにつれて、計算や公式はどんどん複雑なものになっていきます。
数学の実力を向上させるには、先生とマンツーマンで勉強を進められる環境が理想です。数学の問題は「なぜ間違ったのか」を探すことが難しく、解答だけでなく途中式も確認しないと誤答の原因が分からないことが多いからです。
つまり、家庭教師は数学の勉強に最適な教育サービスなのです。特に指導経験豊富なプロ家庭教師は、生徒がつまづきやすいところを正確に把握していますので、適格な対処法を教えてくれます。今、数学の勉強で困っている方は、是非家庭教師のアルファを試してみてください。