目次
等差数列の基本
まず等差数列とは何か?ということをきちんと理解しましょう。
そうすれば基本の公式もしっかり覚えて応用することができます。
◆等差数列とは?
等差数列とは簡単に言うと、「はじめの数に、一定の数を足し続ける数列」です。
例えば、3,5,7,9,11…
この数列は、初めの3に、2ずつ足している数列で、これが等差数列です。この3を始めの項なので「初項」、2は共通する『差』なので、「公差」といいます。各項の差が等しいので、「等差数列」といわれるわけです。
◆等差数列の公式
では等差数列の問題で使う公式を見ていきましょう。先ほどの数列ですが、
3,5,7,9,11…
この数列が続いていく場合、n番目の項を「一般項」といいます。数列の問題はこの一般項を求めることが多いです。つまりn番目の数は何か?ということです。この時使うのが「一般項を求める公式」です。まず初項は3です。これに公差の2を何回か足したのが各項です。2番目の5は2を1回、3番目の7は2を2回…つまりn番目の数(一般項)は公差2を(nー1)回足していることになります。
よって、初項+公差×(n-1) これが等差数列の一般項を求める公式になります。例えば先ほどの数列で20番目の数はというと、3+2×(20-1)=41となります。
まとめると、初項をa、公差をd、nを自然数とおいて、an=a+(n−1)d となります。
◆等差数列の和の公式
次に等差数列の和を求める公式です。その前に一つ有名なお話をご紹介します。複素数平面などで知られる大数学者ガウスは、小学生の時、先生に「1から100まで足しなさい」という問題を出され、一瞬で解いてしましました。
その時ガウスは、
1 +2 +3 +4 …50
100+99+98+97…51
と2列に分けて、101×50=5050と計算したのです。先生はさぞ驚いたことでしょう。これは等差数列の和を求める公式と同じ考え方です。
1から100までを等差数列と考えると、初項が1、末項(一番最後の項)が100で、これを足すと101。そしてこれが100項の半分50項あるので、101×50
つまり一般の等差数列n項の和は、(初項+末項)×1/2n となります。
等差数列の問題を解いてみよう
では先ほどの公式を使って、問題を解いてみましょう。きちんと理解していれば簡単です。
【問題1】初項が3、公差が2の等差数列がある。30番目の数は何か。
【解答】61
【解説】3+2(30-1)=61
【問題2】初項が5、公差が3の等差数列がある。第50項までの和を求めよ。
【解答】3925
【解説】まず末項を求めると、5+3(50-1)=152
よって、5+152×1/2×50=3925
等差数列は数列の基本
大学入学共通テストでは、数列は必ず出題される単元です。
等差数列は数列の基本です。まずはしっかり公式を理解して覚え、様々な問題にチャレンジして応用力をつけましょう。
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こちらの記事の監修者
浅井保(あさい たもつ)
- ・北海道大学文学部卒
- ・家庭教師のアルファ 講師部長
2008年に『家庭教師のアルファ』のプロ家庭教師として活動開始し、数多くの生徒への学習指導を経験。
現在、株式会社アルファコーポレーション講師部部長。