目次
三倍角の公式と覚え方
sinとcosはtanよりも使う機会が多いような気がします。難関大学受験者は必ず３つとも覚えておきましょう。
sinとcosの三倍角の公式は符号を逆にしてsin→cosまたはcos→sinにするだけなので案外簡単に覚えられると思います。
sinの三倍角の証明、cosの三倍角の証明
証明には加法定理と2倍角の公式を利用します。その前に必要な式を少しおさらいをしましょう。
〜三角関数の相互関係〜
三角関数の間には下記のような3つの関係式が成立します。
この関係式のことを三角関数の相互関係と言います。
三角関数の相互関係の証明はそこまで気にすることではないので覚えておきましょう。
〜加法定理〜
三角関数の公式の中で最も重要な公式です。sin、cosの加法定理はしっかり覚えておきましょう。
三角関数の公式は加法定理から変形し作ることができます。そのため、加法定理は必ず必要になります。
〜2倍角の公式〜
倍角の公式とは、2θの三角関数をθの三角関数で表す公式です。
これらの公式は加法定理からの変形で作ることが可能です。
〜sinの二倍角の証明〜
（1）sin2θをθとθに分解します。
（2）加法定理を用いて整理する。
〜cosの二倍角の証明〜
（1）cos2θをθとθに分解します。
（2）加法定理と三角関数の相互関係を用いて整理する。
〜tanの二倍角の証明〜
（1）tan2θをθとθに分解します。
（2）加法定理と三角関数の相互関係を用いて整理する。
では本題の三倍角の公式を証明していきましょう。
〜sinの三倍角の証明〜
（1）加法定理が使いやすいように変形します。
（2）加法定理を使います。
（3）2倍角の公式を用いて変形します。
（4）展開し、整理する。
（5）cos2θに三角関数の相互関係を使います。
(6)展開、整理することで三倍角の公式になります。
〜cosの三倍角の証明〜
(1)加法定理が使いやすいように変形します。
(2)加法定理を使います。
(3)2倍角の公式を用いて変形します。
(4)展開し、整理する。
(5)sin2θに三角関数の相互関係を使います。
(6)展開、整理することで三倍角の公式になります。
それぞれここまでの過程を変形することで作り出すことは可能です。
しかし、試験中に導くには時間がかかるため、暗記することをオススメします。この他にも半角の公式も存在しているので少し説明しておきます。
これらの公式も加法定理からの変形で作ることが可能です。
ですが、これらの証明には二倍角の公式を変形する方が容易に証明することができます。
三倍角の公式の使い方
では実際に三倍角の公式を使ってみましょう。
〜練習問題1〜
また同様に三倍角の公式を用いて計算すると
このように用いることで三倍角を求めることができる。
三倍角の公式はマイナーだけど重要な公式です
三倍角の公式は比較的マイナーですがしっかり覚えておくがかなり重要な公式です。もし覚えられないようなら加法定理を用いることで導くことが可能です。
しかし試験中だとかなり時間ロスになってしまのでできるだけしっかり覚えましょう。
その他の公式についてもしっかり覚えておきましょう。
おわりに
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こちらの記事の監修者
浅井保(あさい たもつ)
- ・北海道大学文学部卒
- ・家庭教師のアルファ 講師部長
2008年に『家庭教師のアルファ』のプロ家庭教師として活動開始し、数多くの生徒への学習指導を経験。
現在、株式会社アルファコーポレーション講師部部長。
