三角関数・加法定理およびその他の派生公式の覚え方｜高校生／数学

目次

• sin⁡(α±β)、 cos⁡(α±β)の加法定理
• ２倍角の公式
• 半角の公式
• 三角関数のその他の公式
• まとめ

sin⁡(α±β)、 cos⁡(α±β)の加法定理

まずは最も基本となるサイン、コサインの加法定理を見てみます

(1)式の暗記の仕方については有名な
「咲いたコスモス、コスモス咲いた」
「咲(sin)いたコ(cos)スモス、コ(cos)スモス咲(sin)いた」
(2)についても
「コツコツすすもう」
「コ(cos)ツコ(cos)ツす(sin)す(sin)もう」
などがあります。
この公式ももちろんきちんとした証明があるのですが、特に覚える必要はないでしょう。
(3)のうちtan(α＋β)は
「タンプラタンで１枚タンタン」（＋の方）
「タン(tan)プラ(+)タン(tan)で１枚(1―)タン(tan)タン(tan)」
と覚えましょう。tan(α－β)はこれのプラスマイナスを逆にすればよいのです。

２倍角の公式

さて、問題はここからです。先の加法定理の公式の次に出てくるのが２倍角、あるいは倍角の公式と言われるもので、形はサイン、コサイン、タンジェントで次のようになっています。

まずはこれらの式を加法定理から求めてみましょう。

この変形は比較的簡単なので、自分で求めてもよいのですが、公式の覚え方としては
「二倍のサインはニッシン興業」
「二倍のサインはニ(2)ッシン(sin)興(cos)業」
というのがあります。

さて、ここで、以前に学習した三角関数の相互関係というものを思い出してください。
sin²∝+cos²∝=1
という式がありましたね？
ここから

となり、(5)式がすべて求められます。
(5)式の覚え方としては、まずは最初の式を
「ニコスはコツコツ毎日お茶の子さいさい」
「ニコス(cos2α)はコツコツ(cos²∝)舞（-）日お茶の子さいさい(sin²∝)」
と暗記し、あとの変形は相互関係から自分で導いた方が簡単だと思います。

これもまず加法定理から式を導いてみましょう。

こちらも比較的簡単なので、自分で導いてもよいかもしれませんが、
「牛タン二倍、ニタニタしながら一枚淡々」
「牛タン二倍(tan2α)、ニタニタ(2tanα)しながら一枚(1―)淡々(tan²∝)
という覚え方があります。

半角の公式

次は半角の公式です。まずは、公式を確認しましょう。

以下、それぞれの公式について、その求め方と覚え方を見ていきます。

この式を求めるには、まず、先のcosの二倍角の公式の一つである
cos2∝=1-2sin²∝
を思い出してください。この式を変形すると

となり、(8)式が得られます。
この式は、
「再犯は、一人の舞妓に二回まで」
「再犯(sin半)は、一人(1)の舞（―）妓(cos)に二(分母の2)回まで」
と覚えましょう。

これもやはりcosの二倍角の公式を使います。
今度は
cos2∝=1-2cos²∝-1
の方で、
これを変形すると

となって(9)が得られます。
この式は
「湖畔では、一人ぷらぷら越すには二泊」
「湖畔(cos半角)では、一(1)人ぷらぷら(+)越すに(cosα)は二(分母の2)泊」
と覚えましょう。

さて、最後にtanの半角の公式ですが、
これは(8)と(9)の式を組み合わせると簡単に導けるので、暗記するよりそちらの方がよいでしょう。

となり、(10)式となります。
これは無理やり語呂合わせするより、サイン、コサインの半角の公式からの流れで覚えておいた方がよいと思います。

三角関数のその他の公式

三角関数にはその他にも三倍角の公式や、積和、和積の公式などもありますが、理系の人でないとあまり使う機会はないので、ここでは半角の公式までということにしておきます。
まずは加法定理、二倍角、半角の公式までをしっかり覚えて、更に必要ならば三倍角等の公式等にもチャレンジしていってみてください。

まとめ

如何でしたか？冒頭でも述べたように、三角関数は高校数学のなかでも多くの生徒が苦労する単元の一つです。

こちらの記事を読まれたお子さまへ
もしも勉強のことでお困りなら、親御さんに『アルファ』を紹介してみよう！

「勉強のやり方が分からない！」
「何から始めれば良いの？？」
「前回のテストの点数、ちょっとやばかったな…」

そんなことでお困りではありませんか？
『家庭教師のアルファ』なら、あなたにピッタリの家庭教師がマンツーマンで勉強を教えてくれるので、
どんなに今の学力や成績に自信がなくても、着実に力を付けていくことがでいます！

もしも今、ちょっとでも家庭教師に興味があれば、ぜひ親御さんへ『家庭教師のアルファ』を紹介してみてください！
下のボタンから、アルファの紹介ページをLINEで共有できます！

こちらの記事をお読みいただいた保護者さまへ

さて、この記事をお読み頂いた方の中には
「子どもが高校生になってから苦手な科目が増え、成績も落ち始めた」
「部活が忙しくて勉強する時間がとれない」
「このままだと大学受験が心配」
といった、お子さまの勉強に関するお悩みを持たれている方も多いのではないでしょうか。
高校生は中学生に比べ学習量が圧倒的に多くなり、勉強の難度も上がるため、一気に挫折してしまうお子さまも多いのです。

高校生の効率的な成績向上・受験対策を行うには、現在の到達度を分析し、お子さまの状況にあわせた学習を行う必要があります。
ただ、お子さま一人で自身の現状を分析し、学習カリキュラムを組み上げるのは困難な場合がほとんどです。

家庭教師のアルファが提供する完全オーダーメイド授業は、一人ひとりのお子さまの状況を的確に把握し、学力のみならず、性格や生活環境に合わせた指導を行います。もちろん、受験対策も志望校に合わせた対策が可能ですので、合格の可能性も飛躍的にアップします。特に大学受験の場合、早い段階から学習カリキュラムを立て、計画的に対策を進める必要があるので、家庭教師は良きプランナーとしての役割も果たします。
高校生のお子さまの勉強についてお困りの方は、是非一度、プロ家庭教師専門のアルファの授業を体験してみてください。下のボタンから、無料体験のお申込みが可能です。